Matematica astratta e geometria iperbolica

Friedrich Gauss, fisico, astronomo e matematico tedesco, è stato definito a ragione il “principe dei matematici” ed è stato indubbiamente uno dei più grandi matematici dell’era moderna, sia nel campo algebrico, che in quello statistico, nella teoria dei numeri, nell’analisi matematica e nella geometria differenziale.

Nato nel 1777 da una modesta famiglia a Braunschweig, si distinse fin dalla tenera età come un bambino prodigio particolarmente versato nelle discipline matematiche. Si racconta che a scuola stupì i suoi insegnanti riuscendo a calcolare in pochi minuti la somma dei numeri da 1 a 100, con un suo particolare metodo di calcolo, operazione per cui normalmente si impiegherebbero varie ore.

La sua fama giunse fino al Duca di Brunswick che decise di finanziarne gli studi fino al livello universitario presso l’università di Gottinga.

Come matematico puro Gauss dimostrò innanzitutto la validità di un semplice metodo di costruzione con riga e compasso dei poligoni con numeri di lati uguali ai numeri primi di Fermat. Successivamente dette varie dimostrazioni di quello che è stato definito il “teorema fondamentale dell’algebra” relativo allo sviluppo delle funzioni algebriche integrali ad una variabile, che lo stesso grande D’Alembert non era riuscito a dimostrare correttamente.

Nelle “Disquisitiones Arithmeticae” espose varie importanti teoremi sulla teoria dei numeri, come la legge di reciprocità quadratica. Svolse inoltre considerazioni sulla distribuzione dei numeri primi, argomento già trattato dal grande matematico francese Fermat, e sulla costruzione dei cosiddetti “numeri naturali”.

Elaborò il metodo ancora usato per la minimizzazione degli errori di misura, il cosiddetto metodo dei “minimi quadrati”, ma forse la sua creazione più nota riguarda la distribuzione statistica degli errori illustrata dalla ben nota curva a forma di campana detta appunto “gaussiana”. Un altro risultato di grande importanza fu la definizione di un teorema sulla curvatura delle superfici.

Gauss fu anche un precursore nel campo delle geometrie non euclidee, cioè quelle moderne geometrie successivamente sviluppate dal russo Lobacevski, l’ungherese Bolyai ed il tedesco Reimann, che rifiutano il V° postulato euclideo delle rette parallele e che sono servite di base anche alla teoria della relatività generale. Gauss non pubblicò questi studi temendo di sollevare eccessive polemiche, come risulta dalla sua corrispondenza con lo stesso Bolyai e con due matematici tedeschi che si interessarono al problema: Schweikart e Taurinus.

Gauss divenne anche astronomo ufficiale presso l’osservatorio di Gottinga interessandosi in particolare degli asteroidi. Il suo più celebre risultato è quello raggiunto per via matematica sul moto dell’asteroide Cerere scoperto dall’astronomo Giuseppe Piazzi. 

Non riuscendo Piazzi né nessun altro astronomo a determinare il punto esatto in cui l’asteroide sarebbe stato visibile dopo essere stato coperto dalla Luna, Gauss ne previde la posizione con stupefacente esattezza.

Gauss si interessò anche di elettricità, gettando le fondamenta dell’elettrostatica, e di magnetismo, sviluppando per primo una teoria generale del magnetismo terrestre, scoprendo che i poli magnetici non coincidevano con i poli geografici e misurando i valori magnetici in vari punti. Egli mise a punto anche un primo semplice telegrafo elettromagnetico e creò un sistema assoluto di unità di misura di grandezze fisiche tuttora in vigore.

Il grande scienziato e matematico morì universalmente onorato e stimato a Gottinga nel 1855. Circa 20 anni prima, nel 1832, aveva ricevuto da parte del matematico ungherese Wofgang Bolyai una memoria contenente anche un originale lavoro del figlio, il matematico dilettante Janos Bolyai (1802-1860). Quest’ultimo, tra il 1825 ed il 1829, aveva sviluppato una geometria che prescindeva da V° postulato, proseguendo sulla strada già aperta nel ‘700 dallo svizzero Lambert e l’italiano Saccheri  che avevano affrontato il problema della dimostrazione del postulato, rivelatasi impossibile. 

La risposta di Gauss, che specificava di aver già studiato il problema ma senza pubblicare i risultati, perché avrebbero provocato troppe critiche, fece infuriare e deluse Janos Bolyai che non produsse più altre ricerche di rilievo.

Il più deciso sostenitore della nuova rivoluzionaria geometria fu il geniale matematico russo Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856) che illustrò i principi della nuova geometria, sviluppati indipendentemente da Janos Boylai e da Gauss, già in una memoria del 1823, che fu rifiutata. Lobacevskij, divenuto professore e poi rettore dell’università di Kazan, tornò alla carica con uno scritto del 1829-1830 “Sui principi della Geometria”, ed ancora nel 1835 con l’opera “Geometria Immaginaria”, e nel 1835-38 con “I nuovi principi di Geometria” , ed infine con una memoria riassuntiva del 1853.

La nuova geometria di Boylai e Lobacevskij, detta “iperbolica”, si basa sull’ipotesi che da un punto esterno ad una retta possono partire due rette parallele ad una retta data, formanti angoli acuti con essa. Una generazione dopo, il geniale matematico tedesco Riemann, partendo da altre ipotesi, costruirà una nuova geometria non euclidea, detta “ellittica”.

Deve essere sottolineato che Lobacevskij dichiarò orgogliosamente che la nuova geometria non era un’astratta esercitazione, ma un tipo di matematica più aderente all’esperienza della realtà, fatto poi confermato nelle applicazioni alla fisica moderna. Le geometrie non euclidee misero anche in crisi l’affermazione di Kant secondo cui la geometria (euclidea) deriverebbe dal carattere “trascendentale” (ed immutabile) dello spazio, visto come nostra intuizione soggettiva “a priori”.

Nel campo dell’algebra va ricordata in questo periodo l’opera del matematico e medico italiano Paolo Ruffini (1765-1822), professore a Modena, che sollevò il problema dell’impossibilità di risolvere con le operazioni tradizionali le equazioni di grado superiore al 4°. 

La problematica fu ripresa dal giovane e sfortunato matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829), nato da una famiglia molto povera, che dimostrò l’assunto di Ruffini (teorema di Abel-Ruffini), scrivendo anche agli importanti matematici francesi Lagrange e Legendre (vedi N. 66) senza ottenere risposta. Quando sembrava che la sua vita avesse una svolta, in quanto chiamato all’Università di Berlino, fu stroncato dalla tisi. Altrettanto sfortunato fu un altro giovanissimo matematico francese, Evariste Galois (1811-1832), romantica figura di rivoluzionario in quanto seguace del socialista rivoluzionario Blanqui, che impostò un metodo del tutto nuovo per indicare l’eventuale risolvibilità delle equazioni di grado superiore con la “teoria dei gruppi” di permutazione, che stabiliscono relazioni tra le radici algebriche di un polinomio di grado qualsiasi. Dopo aver scritto inutilmente ai matematici Poisson (vedi N. 70) e Cauchy, Galois ci ha infine lasciato alcune illuminanti paginette di appunti scritti affannosamente nella notte che precedette il duello in cui il giovane perse la vita, e che si interrompono con le celebri drammatiche parole:” non ho tempo ….”. 

L’opera di Galois fu molto apprezzata qualche anno dopo la sua morte e la teoria dei gruppi sviluppata da Dedekind, Kronecker, Artin ed altri.

Nello stesso periodo in Inghilterra si sviluppò a Cambridge, Università di grandissime tradizioni matematiche, un gruppo che sviluppò un’algebra molto astratta, basata su sistemi logici. Ne fecero parte Woodhouse, Babbage, Peacock ed Herschel junior (figlio del noto astronomo: vedi N. 59). Contemporaneamente operò a Dublino sulle stesse tematiche il matematico Hamilton.

Per quanto riguarda gli sviluppi e la razionalizzazione della matematica infinitesimale (o “analisi matematica”), si deve ricordare la figura del francese Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), che fu anche ingegnere presso l’Ecole Polytechnique, e sviluppò teoremi di analisi matematica basati sui concetti di limite e di continuità.

Vincenzo Brandi